Ogni volta che mi trovo davanti a un dataset, la prima cosa che faccio è cercare di capirne la forma: dov’è il centro? Quanto sono sparsi i valori? Sono domande banali, eppure sbagliare qui significa partire col piede sbagliato in qualsiasi analisi successiva, che sia un modello di machine learning o un semplice report.
In questo post metto in ordine i concetti fondamentali della statistica descrittiva.
- Indici di Posizione Centrale — media, mediana, moda
- Misure di Dispersione — varianza ($\sigma^2$) e deviazione standard ($\sigma$)
- Calcolo in Excel — con un file di esempio scaricabile
- Calcolo in R — script completo, con una funzione per la moda
1. Indici di Posizione Centrale: Media, Mediana e Moda
Dato un insieme di osservazioni $X = {x_1, x_2, \dots, x_N}$, la prima domanda che mi pongo è: qual è il valore che meglio rappresenta questo gruppo?
La Media Aritmetica ($\mu$)
È il classico “valore medio” che tutti conosciamo fin dalle elementari. Sommo tutti i valori e divido per quanti sono:
\[\mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i\]Se la notazione con la sommatoria ($\sum$) non ti è familiare, si tratta semplicemente di questo:
\[\mu = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_N}{N}\]Esempio: con i voti ${2, 4, 4, 6}$, la media viene: \(\mu = \frac{2 + 4 + 4 + 6}{4} = \frac{16}{4} = 4\)
Attenzione però: la media è sensibilissima ai valori estremi (outliers). Basta un singolo dato anomalo per spostarla parecchio.
La Mediana
Prendo i dati, li metto in fila dal più piccolo al più grande, e guardo quale sta al centro. Se sono in numero pari, faccio la media dei due centrali. La cosa bella della mediana è che è robusta: un outlier non la sposta di una virgola.
La Moda
È il valore che compare più spesso. A differenza degli altri due indici:
- Funziona anche con dati non numerici (es. “qual è il colore preferito?”).
- Può non essere unica: due picchi → bimodale, più di due → multimodale.
- Se ogni valore compare una volta sola, semplicemente non c’è moda (distribuzione amodale).
2. Misure di Dispersione: Varianza ($\sigma^2$) e Deviazione Standard ($\sigma$)
Sapere dov’è il centro non basta. Due gruppi possono avere la stessa media ma comportarsi in modo completamente diverso: uno con valori tutti vicini, l’altro sparso ovunque.
La Varianza ($\sigma^2$)
L’idea è semplice: per ogni dato, calcolo quanto dista dalla media, elevo al quadrato (così gli scarti negativi non si cancellano con quelli positivi) e poi faccio la media di tutti questi quadrati:
\[\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2\]Senza la sommatoria, la stessa cosa si scrive così:
\[\sigma^2 = \frac{(x_1 - \mu)^2 + (x_2 - \mu)^2 + \dots + (x_N - \mu)^2}{N}\]Esempio: riprendendo i voti ${2, 4, 4, 6}$ con media $\mu = 4$: \(\sigma^2 = \frac{(2-4)^2 + (4-4)^2 + (4-4)^2 + (6-4)^2}{4} = \frac{4 + 0 + 0 + 4}{4} = 2\)
Il quadrato ha anche un effetto collaterale utile: penalizza di più gli scarti grandi rispetto a quelli piccoli.
La Deviazione Standard ($\sigma$)
Il problema della varianza è che è espressa in unità al quadrato (se misuro in metri, la varianza è in $m^2$). Per tornare all’unità originale, ne estraggo la radice quadrata — ed ecco la deviazione standard:
\[\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}\]In pratica, è semplicemente la radice quadrata della varianza:
\[\sigma = \sqrt{\sigma^2}\]Esempio: con varianza $\sigma^2 = 2$, ottengo: \(\sigma = \sqrt{2} \approx 1.41\)
Per avere un’intuizione concreta, in una distribuzione Gaussiana:
- il $68\%$ circa dei dati cade entro $\pm 1\sigma$ dalla media
- il $95\%$ entro $\pm 2\sigma$
- il $99.7\%$ entro $\pm 3\sigma$
3. Come Calcolare questi Indici in Excel
Se i dati sono in un foglio Excel (supponiamo nell’intervallo A1:A100), queste sono le funzioni da usare
[!NOTE] Ho preparato anche un file Excel con un dataset di prova e tutte le formule già impostate, pronto da scaricare: Scarica l’Excel di Esempio (esempio_calcolo_statistico.xlsx)
| Indice Statistico | Funzione Excel (Italiano) | Excel Function (English) | Descrizione |
|---|---|---|---|
| Media ($\mu$) | =MEDIA(A1:A100) |
=AVERAGE(A1:A100) |
Calcola la media aritmetica semplice. |
| Mediana | =MEDIANA(A1:A100) |
=MEDIAN(A1:A100) |
Restituisce il valore centrale della distribuzione. |
| Moda | =MODA.SNG(A1:A100) |
=MODE.SNGL(A1:A100) |
Restituisce il valore più frequente. |
| Varianza ($\sigma^2$) | =VAR.POP(A1:A100) |
=VAR.P(A1:A100) |
Calcola la varianza per l’intera popolazione. |
| Deviazione Standard ($\sigma$) | =DEV.ST.POP(A1:A100) |
=STDEV.P(A1:A100) |
Calcola la deviazione standard per l’intera popolazione. |
[!TIP] Se stai lavorando su un campione e non sull’intera popolazione, per la varianza e la deviazione standard ricordati di utilizzare le funzioni campionarie equivalenti:
- Varianza campionaria:
=VAR.C(A1:A100)in italiano o=VAR.S(A1:A100)in inglese.- Deviazione standard campionaria:
=DEV.ST.C(A1:A100)in italiano o=STDEV.S(A1:A100)in inglese.
4. Come Calcolare questi Indici in R
R è il mio strumento di riferimento quando faccio analisi statistica pura. C’è solo una trappola da conoscere:
[!IMPORTANT] In R,
mode()restituisce il tipo dell’oggetto (es."numeric"), non la moda statistica. Per quella serve una funzione ad hoc. Inoltrevar()esd()usano di default il denominatore $N-1$ (versione campionaria).
Ecco lo script completo:
# Definisco il dataset di esempio (lo stesso del file Excel)
dati <- c(12, 15, 15, 17, 18, 20, 20, 20, 22, 23, 24, 25, 25, 26, 28, 30, 31, 35, 40, 50)
# 1. Indici di Posizione Centrale
media <- mean(dati)
mediana <- median(dati)
# Funzione personalizzata per calcolare la moda statistica
calcola_moda <- function(x) {
tabella_frequenze <- table(x)
moda_valori <- names(tabella_frequenze)[tabella_frequenze == max(tabella_frequenze)]
return(as.numeric(moda_valori))
}
moda <- calcola_moda(dati)
# 2. Misure di Dispersione Campionarie (con denominatore N-1)
varianza_campionaria <- var(dati)
dev_std_campionaria <- sd(dati)
# 3. Misure di Dispersione per la Popolazione (con denominatore N)
n <- length(dati)
varianza_popolazione <- var(dati) * (n - 1) / n
dev_std_popolazione <- sd(dati) * sqrt((n - 1) / n)
# Stampo i risultati in console
cat("Media:", media, "\n")
cat("Mediana:", mediana, "\n")
cat("Moda:", moda, "\n")
cat("Varianza Popolazione (sigma^2):", varianza_popolazione, "\n")
cat("Deviazione Standard Popolazione (sigma):", dev_std_popolazione, "\n")
cat("Varianza Campionaria (s^2):", varianza_campionaria, "\n")
cat("Deviazione Standard Campionaria (s):", dev_std_campionaria, "\n")
Conclusioni
Media, mediana, moda, varianza e deviazione standard: niente di complicato, ma sono i mattoni su cui si costruisce tutto il resto. Ogni volta che inizio un’analisi, parto sempre da qui. Se questi concetti sono chiari, il salto verso la statistica inferenziale e il machine learning diventa molto più naturale.